5.1. Понятие множества
Рассмотрим высказывание «Все учащиеся нашего класса имеют дома компьютер». Истинно оно или ложно? Для ответа на этот вопрос вам нужно задать каждому из одноклассников вопрос: «У тебя дома есть компьютер?» Если все учащиеся класса ответят утвердительно, то высказывание истинно, если хотя бы один из учащихся ответит «нет», то и высказывание будет ложным. Для разных классов это высказывание будет иметь различные значения, потому что различными будут множества учащихся класса.
Множество — совокупность каких-либо объектов, обладающих общим свойством. Эти объекты называют элементами множества.
Можно говорить о множестве учащихся 7 А класса, множестве отметок в классном журнале, множестве городов Беларуси, множестве букв русского алфавита и т. д. Понятие множества является одним из основных в математике.
Множества, как правило, обозначают прописными латинскими буквами, а элементы множества — строчными. Напомним, что для обозначения принадлежности элемента множеству используют специальные знаки:
а ∈ М (элемент а принадлежит множеству М), а ∉ М (элемент а не принадлежит множеству М). Если множество M состоит из элементов a, b, c, то это записывают так: M = {a, b, c}.
Чтобы задать множество, необходимо перечислить его элементы или назвать их общее свойство.
Задание 2.
5.2. Понятие подмножества
Рассмотрим множество учащихся какого-либо класса. В этом множестве можно выделить не только отдельного учащегося, но и некоторые группы учащихся. Например, отличники, учащиеся, умеющие играть в теннис, изучающие французский язык и т. д. Каждая из таких групп образует подмножество — часть множества учащихся.
Если множество А является подмножеством множества М, то это записывают так:
А ⊂ М. Запись А ⊄ М обозначает, что множество А не является подмножеством множества М.
Подмножество может содержать все элементы множества, а может не содержать ни одного (пустое множество; обозначается знаком ∅).
Некоторые элементы множества могут принадлежать одновременно разным подмножествам (пример 5.3).
Для наглядной геометрической иллюстрации множеств и отношений между ними используют круги Эйлера. Каждое множество изображается кругом. Если какое-либо множество является подмножеством другого множества, то один круг изображается внутри другого. Например, если M — множество всех хищников, а A — множество всех львов (A ⊂ M), то это обозначается таким образом:
Задание 3.
Ответьте на вопросы.
Что понимают под множеством?
Что понимают под подмножеством?
Что используется для геометрической иллюстрации множеств?
Задание 4.
- Дополните каждое из множеств 1—2 элементами.
1) А = {математика, информатика, история, литература};
2) В = {яблоко, груша, апельсин, банан};
3) С = {клавиатура, монитор, мышь};
4) D = {карандаш, ручка, ластик, фломастер}.
- Какие элементы могут входить в следующие множества?
1) Средства передвижения;
2) цвета радуги;
3) домашние животные;
4) четные числа.
Откройте файл с группами слов. Разделите слова каждой группы на два множества. Слова первого множества выделите красным цветом, а второго — синим. По каким признакам вы разделили слова?Образец:
- 1) Текст в файле: гусь, лебедь, заяц, волк, павлин, курица, кабан, лось.
Результат: А = {гусь, лебедь, павлин, курица};
B = {заяц, волк, кабан, лось}.
Признаки: А — множество птиц, В — множество зверей;
2) мяч, стол, стул, коньки, шкаф, клюшка, шайба, комод;
3) сом, уж, карась, окунь, щука, гадюка, кобра, питон.
Из множества геометрических фигур А = {круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник, пятиугольник} выделите подмножества:
- 1) фигур, не имеющих углов;
2) фигур, являющихся четырехугольниками;
3) фигур, количество углов у которых больше трех.
Задание 5.
